Numeros Complejos

RESEÑA HISTÓRICA

Los números complejos es un tema que ha sido muy poco estudiado por los profesores en las distintas etapas de la educación, tanto a nivel básico y diversificado como en la Universidad. Al comenzar a estudiar los números complejos, nos damos cuenta que es un sistema muy importante por integrar varias ramas de la matemática como lo son la trigonometría, la geometría y el álgebra, entonces resulta bastante interesante indagar un poco más acerca de este tema, comenzando por su historia.

Isaac Asimov, en su libro “De los números y su historia”, relata una historia en la que un profesor de Sociología en su clasificación de la humanidad agrupó a los matemáticos entre los místicos junto con los poetas y los teólogos, ya que para él los matemáticos son místicos porque creen en números que no tienen realidad, para explicarlo dijo lo siguiente, “La raíz cuadrada de menos uno. No tiene existencia. Los matemáticos lo llaman imaginario. Pero de alguna manera mística creen que tiene alguna clase de existencia”. Pero la verdad es que no hay nada de místico en ellos, son tan reales como cualquier otro.

Los números complejos aparecieron muy temprano en las matemáticas, pero fueron ignorados, por ser para la mayoría un poco extraños y difíciles de representar. Al comienzo los hombres solamente aceptaban los números naturales por ser los más adecuados para contar objetos que comúnmente se consideran como unidades. Pero al medir magnitudes como la longitud o el peso, las fracciones se hicieron imprescindibles. Los egipcios y babilonios se las arreglaron para elaborar métodos que les permitieron operar con fracciones. Pero los griegos descubrieron que habían cantidades definidas que no podían ser expresadas como cocientes de números enteros, la noción de número extiende más allá, ya que los griegos no aceptaban que hubieran números menores que el cero. Los números complejos aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos los cuales no poseen soluciones reales. Los matemáticos griegos que conocían métodos geométricos de resolución, consideraban estos problemas irresolubles, rechazaban el uso de números negativos por la falta de un equivalente dentro de la geometría que para ese momento era el centro de la matemática. El surgimiento de los números complejos no se debió solo a la imposibilidad de resolver algunas ecuaciones cuadráticas, sino que viene también de las ecuaciones cúbicas. Más adelante con el surgimiento del álgebra durante la Edad Media, el concepto de número se amplía para manipular ecuaciones, desligadas de la geometría.

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.

El eje X se llama eje real.

El eje Y se llama eje imaginario.

El número complejo a + bi se representa.

DEFINICIÓN Y UNIDAD IMAGINARIA

Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”).

La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de abarcar a las raíces de orden par del conjunto de los números negativos. Los números complejos pueden, por lo tanto, reflejar a todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.

FORMA RECTANGULAR DE NUMERO COMPLEJO

Representación geométrica de un número complejo. Sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Su expresión en forma cartesiana es
z = (a,b). Consideremos el plano euclídeo real R2, y en él un sistema de referencia orto normal. A cada número complejo z = a + b·i le hacemos corresponder un punto del plano P(a,b); y recíprocamente, dado ese punto del plano le asociamos el complejo z = a + b·i. Tenemos pues una bisección entre el plano euclídeo real R2 y el cuerpo de los números complejos C. 

CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.

Representando el número complejo a + bi  y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .

Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal. Así se escribirá:                

Propiedades de los conjugados

· Primera propiedad

El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.

Demostración:

En efecto si z = a + bi  se tiene que  = a - bi , de donde,  = a + bi  = z

· Segunda propiedad

Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.

Esto se expresa escribiendo que 

Demostración:

Tomando z = a + bi  y z' = c + di , se tiene:

   

      = a + bi  y ' = c - di , con lo que  + ' = (a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i

Por otra parte:

                    

y es fácil ver que esta expresión coincide con la anterior.

· Tercera propiedad

El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:

                                           

Demostración:

Si z = a + bi  y z = c + di se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i , cuyo conjugado es  = (ac - bd) - (ad + bc)i .

Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que

 · '  = (a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .

El resultado es igual al anterior.

· Cuarta propiedad

Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.

Demostración:

Sea un complejo a + bi  que coincida con su conjugado. Esto equivale a que

a + bi = a – bi

Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi  es un número real.

· Quinta propiedad

La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales.

Demostración:

                                              (a + bi ) + (a - bi ) = 2a

                                     (a + bi ) (a - bi ) = a2 - (bi )2 = a2 + b2

OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Ejemplo: 

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Ejemplo: 

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =

= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.