Para que todos los procedimientos
matemáticos usados sean válidos se debe partir de una base que respalde cada
procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en consecuencia, demostrarse cada
afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales de
toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la
veracidad de cualquier afirmación.
Las afirmaciones a las que se
hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que
se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser
demostradas cuando no lo son.
El otro tipo de afirmaciones a
las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas,
que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas
afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya
demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.
Hay tres tipos de axiomas:
·
Los axiomas algebraicos
·
Los axiomas de orden
·
El axioma topológico.
LOS AXIOMAS ALGEBRAICOS
Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo,
pueden ser subdivididos en dos tipos: los de la adición y de la multiplicación.
LOS AXIOMAS DE ORDEN
Los axiomas de orden establecen
una relación de "cantidad" (véase construcción de los naturales).
Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los
naturales, se dice que un número es menor que otro si está contenido
en éste, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra. Para
establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo < que nos dirá si un número es mayor o menor que otro.
Para la igualdad se usa el símbolo = que ya conocemos.
EL AXIOMA TOPOLÓGICO
Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas,
pero no se puede con esto, demostrar la existencia de un número irracional,
como raíz cuadrada de dos por ejemplo. Para esto es necesario el Axioma
topológico que dice lo siguiente, si se quiere.
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