Ecuaciones e Inecuaciones de Valor Absoluto

Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c

Al inicio del semestre se señaló que el valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es, │a│=│-a│.  Usamos este argumento para resolver ecuaciones con valor absoluto.  Por ejemplo, si │x│= 3, entonces x = 3 ó x = -3.  Por lo tanto, la solución de la ecuación │x│= 3  es  -3  y  3. 

Las soluciones  de una  ecuación de la forma │ax + b│= c,  donde  a ≠ 0  y  c es un número positivo, son aquellos valores que satisfacen:  ax + b = c  ó  ax + b = -c.

Ejemplos para discusión:

1)  │3x - 4│ = 5

3)  │3x - 1│+ 2 = 5

4)  │x + 2│ = │x - 7│

Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

1)  │3x - 4│= 23

2)  │2x + 1│ + 3 = 8

4)  │x - 6│ = │5x + 8│

Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c

 ¿Qué significa │x│< 2 ?   Significa que x  es un número menor que 2 unidades desde cero a la recta numérica.  La recta numérica nos ayuda a visualizar la situación.  Dibuja en el espacioprovisto la recta numérica.

 Observa que los valores que satisfacen la expresión │x│< 2 están entre -2  y  2.  Es decir, que estos valores están en el intervalo entre -2  y 2, esto es, -2 < x < 2.

 Propiedad:  Si a es un número real positivo  y  │x│< a,  entonces  –a < x < a.

Ejemplos para discusión:

1)  │x│< 3

2)  │x + 5│ ≤ 10

3)  │3x - 2│≤ 8

4)  │2(x – 1) + 4│ < 8

Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones:

1)  │x│≤ 5

2)  │x - 6│ < 15

3)  │2 + 3(x – 1)│< 20